Miêu tả sơ lược Không gian afin

Mô tả sau giúp hiểu dễ dàng hơn so với định nghĩa hình thức thường gặp: một không gian afin là những gì còn lại của một không gian vectơ sau khi đã quên điểm nào là điểm gốc (hoặc trong lời của nhà toán học người Pháp Macel Berger, "Một không gian afin không khác gì một không gian vector ngoại gốc mà chúng ta đang cố gắng quên đi, bởi sự thêm vào các tịnh tiến cho các ánh xạ tuyến tính"[2]). Tưởng tượng hai nhân vật Alice và Bob; Alice biết điểm nào là điểm gốc thật, nhưng Bob lại tin rằng một điểm khác — điểm p — là điểm gốc. Ta thêm vào hai vectơ a và b. Bob vẽ một mũi tên từ điểm p song song và có độ lớn bằng vectơ a và một mũi tên khác từ điểm p song song và có độ lớn bằng vectơ b, hai mũi tên tạo thành hình bình hành mà Bob nghĩ rằng đường chéo của nó là kết quả của a + b, nhưng Alice biết rằng anh thực sự đã tính

p + (a − p) + (b − p).

Tương tự, Alice và Bob có thể tính được tổ hợp tuyến tính bất kỳ của a và b, hoặc của một tập hữu hạn các vectơ và nói chung sẽ nhận được các kết quả khác nhau. Tuy nhiên, nếu tổng các hệ số trong tổ hợp tuyến tính bằng 1, thì Alice và Bob thu được kết quả như nhau.

Nếu Bob tính tổ hợp

λa + (1 − λ)b

thì Alice cũng thu được

p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b.

Và mọi hệ số có tổng λ + (1 − λ) = 1, Alice và Bob miêu tả cùng điểm với cùng tổ hợp tuyến tính nhưng với điểm gốc khác nhau.

Khi Alice biết "cấu trúc tuyến tính", thì cả Alice và Bob đều biết "cấu trúc afin"—tức là giá trị của tổ hợp afin, định nghĩa như là tổ hợp tuyến tính có tổng các hệ số bằng 1. Một tập hợp có cấu trúc afin là một không gian afin.